$2$ 次形式 $ax^2 + by^2 + cz^2 + dxy + eyz + fzx$ は対称行列を用いて

$ $$\begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} a & \dfrac{d}{2} & \dfrac{f}{2} \\ \dfrac{d}{2} & b & \dfrac{e}{2} \\ \dfrac{f}{2} & \dfrac{e}{2} & c \end{pmatrix}$$   $$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$ $

と表せる。よって

$3x^2 - y^2 + 2z^2 - 4xy + 6yz + 6zx =  $$\begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} 3 & -2 & 3 \\ -2 & -1 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \end{pmatrix}$$   $$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$ $

が成り立つ。