$2$ 次形式 $ax^2 + by^2 + cz^2 + dxy + eyz + fzx$ は対称行列を用いて

$ $$\begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} a & \dfrac{d}{2} & \dfrac{f}{2} \\ \dfrac{d}{2} & b & \dfrac{e}{2} \\ \dfrac{f}{2} & \dfrac{e}{2} & c \end{pmatrix}$$   $$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$ $

と表せる。よって

$x^2 + 2y^2 -z^2 + 2xy + 4yz - 2zx =  $$\begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 2 \\ -1 & 2 & -1 \end{pmatrix}$$   $$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$ $

が成り立つ。