直線 $y = 4x + 1$ 上の点 $(x,4x+1)$ の像の座標を $(x',y')$ とすると

$ $$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} a & b \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ 4x+1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} (a + 4b)x+b \\ 5x + 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

よって

$\left\{ $$\begin{aligned} x' &= (a+4b)x+b \\ y' &= 5x + 1 \end{aligned}$$ \right.$

像が自分自身であることから $y' = 4x'+1$ が成り立つので, 代入すると

$5x + 1 = 4((a+4b)x + b) + 1$

整理すると

$5x + 1 = (4a + 16b)x + (4b + 1)$

これが全ての $x$ で成り立つので

$\left\{ $$\begin{aligned} 4a + 16b &= 5 \\ 4b + 1 &= 1 \end{aligned}$$ \right.$

これを解くと $a = \dfrac{5}{4}$, $b = 0$ となる。

よって $a = \dfrac{5}{4}$ である。