直線 $y = 2x + 2$ 上の点 $(x,2x+2)$ の像の座標を $(x',y')$ とすると

$ $$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} a & b \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ 2x+2 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} (a + 2b)x+2b \\ 3x + 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

よって

$\left\{ $$\begin{aligned} x' &= (a+2b)x+2b \\ y' &= 3x + 2 \end{aligned}$$ \right.$

像が自分自身であることから $y' = 2x'+2$ が成り立つので, 代入すると

$3x + 2 = 2((a+2b)x + 2b) + 2$

整理すると

$3x + 2 = (2a + 4b)x + (4b + 2)$

これが全ての $x$ で成り立つので

$\left\{ $$\begin{aligned} 2a + 4b &= 3 \\ 4b + 2 &= 2 \end{aligned}$$ \right.$

これを解くと $a = \dfrac{3}{2}$, $b = 0$ となる。

よって $a = \dfrac{3}{2}$ である。