直線 $y = 4x + 1$ 上の点 $(x,4x+1)$ の像の座標を $(x',y')$ とすると

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ a & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ 4x+1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 5x+1 \\ (a + 4b)x + b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

よって

$\left\{ \begin{aligned} x' &= 5x+1 \\ y' &= (a+4b)x + b \end{aligned} \right.$

像が自分自身であることから $y' = 2x'+4$ が成り立つので, 代入すると

$(a+4b)x + b = 4(5x+1) + 1$

整理すると

$(a+4b)x + b = 20x + 5$

これが全ての $x$ で成り立つので

$\left\{ \begin{aligned} a + 4b &= 20 \\ b &= 5 \end{aligned} \right.$

これを解くと $a = 0$, $b = 5$ となる。

よって $b = 5$ である。