$f$ の表現行列を $A$ とすると

$A $$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$$ =  $$\begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$$ $

$A $$\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ =  $$\begin{pmatrix} -7 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}$$ $

$A $$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$ =  $$\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$$ $

となるので, これらを $1$ つの式にまとめると

$A $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ =  $$\begin{pmatrix} -5 & -7 & -3 \\ 0 & -2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix}$$ $

が成り立つ。

$ $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ ^{-1} =  $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ $

であるから

$ $$\begin{eqnarray*} A & = & \begin{pmatrix} -5 & -7 & -3 \\ 0 & -2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}^{-1}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -5 & -7 & -3 \\ 0 & -2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 1 & 4 & -3 \\ -4 & 4 & 2 \\ -3 & 0 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

よって $A =  $$\begin{pmatrix} 1 & 4 & -3 \\ -4 & 4 & 2 \\ -3 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$ $ である。