空間における線形変換 $f$ が $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$ を $\begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$ に, $\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ を $\begin{pmatrix} -7 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}$ に, $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ を $\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ に移す時, $f$ の表現行列として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} 1 & 4 & -3 \\ -4 & 4 & 2 \\ -3 & 0 & 3 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -11 & 4 & 3 \\ 4 & 4 & -2 \\ 9 & 0 &- 3 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -11 & -4 & 3 \\ 4 & -4 & -2 \\ 9 & 0 & -3 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & -4 & -3 \\ -4 & -4 & 2 \\ -3 & 0 & 3 \end{pmatrix}$
$f$ の表現行列を $A$ とすると
$A\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$
$A\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}$
$A\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$
となるので, これらを $1$ つの式にまとめると
$A\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & -7 & -3 \\ 0 & -2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix}$
が成り立つ。
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$
であるから
$\begin{eqnarray*} A & = & \begin{pmatrix} -5 & -7 & -3 \\ 0 & -2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}^{-1}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -5 & -7 & -3 \\ 0 & -2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 1 & 4 & -3 \\ -4 & 4 & 2 \\ -3 & 0 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よって $A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & -3 \\ -4 & 4 & 2 \\ -3 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ である。