$f$ の表現行列を $A$ とすると

$A $$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ =  $$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$ $

$A $$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$ =  $$\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}$$ $

$A $$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$ =  $$\begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $

となるので, これらを $1$ つの式にまとめると

$A $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ =  $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 0 & 2 & -3 \\ 1 & -4 & 0 \end{pmatrix}$$ $

が成り立つ。

$A $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ = A$

であるから $A =  $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 0 & 2 & -3 \\ 1 & -4 & 0 \end{pmatrix}$$ $ である。