空間における線形変換 $f$ が $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ を $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ に, $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ を $\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}$ に, $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ を $\begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}$ に移す時, $f$ の表現行列として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 0 & 2 & -3 \\ 1 & -4 & 0 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ \dfrac{1}{4} & -\dfrac{1}{4} & -\dfrac{1}{4} \\ \dfrac{1}{6} & -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{6} \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4} \\ \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} & -\dfrac{1}{6} \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -1 & -2 & 3 \\ 0 & -2 & 3 \\ -1 & 4 & 0 \end{pmatrix}$
$f$ の表現行列を $A$ とすると
$A\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$
$A\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}$
$A\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}$
となるので, これらを $1$ つの式にまとめると
$A\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 0 & 2 & -3 \\ 1 & -4 & 0 \end{pmatrix}$
が成り立つ。
$A\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = A$
であるから $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 0 & 2 & -3 \\ 1 & -4 & 0 \end{pmatrix}$ である。