線形変換 $f$ が $\begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix}$ を $\begin{pmatrix} 15 \\ -11 \end{pmatrix}$ に, $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ を $\begin{pmatrix} -6 \\ 2 \end{pmatrix}$ に移す時, $f$ の表現行列として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} - 3 & 3 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 3 & -3 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 9 & -9 \\ 3 & 9 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -9 & 9 \\ -3 & -9 \end{pmatrix}$
$f$ の表現行列を $A$ とすると
$A\begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 \\ -11 \end{pmatrix}$
$A\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 2 \end{pmatrix}$
であるから, これを $1$ つの式にまとめると
$A\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 & -6 \\ -11 & 2 \end{pmatrix}$
が成り立つ。
$\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 4 & -1 \end{pmatrix}^{-1} = -\dfrac{1}{3} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -4 & -1 \end{pmatrix}$
であるから
$\begin{eqnarray*} A & = & \begin{pmatrix} 15 & -6 \\ -11 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 4 & -1 \end{pmatrix}^{-1}\\[1em] & = & -\dfrac{1}{3} \begin{pmatrix} 15 & -6 \\ -11 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -4 & -1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & -\dfrac{1}{3} \begin{pmatrix} 9 & -9 \\ 3 & 9 \end{pmatrix} \\[1em] & = & \begin{pmatrix}- 3 & 3 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}\end{eqnarray*}$
よって $f$ の表現行列は $\begin{pmatrix} - 3 & 3 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}$ である。