$f$ の表現行列を $A$ とすると

$A $$\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} -18 \\ -3 \end{pmatrix}$$ $

$A $$\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \end{pmatrix}$$ $

であるから, これを $1$ つの式にまとめると

$A $$\begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} -18 & 7 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$$ $

が成り立つ。

$ $$\begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$$ ^{-1} = $$\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix}$$ $

であるから

$ $$\begin{eqnarray*} A & = & \begin{pmatrix} -18 & 7 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}^{-1}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -18 & 7 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}\end{eqnarray*}$$ $

よって $f$ の表現行列は $ $$\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}$$ $ である。