線形変換 $f$ が $\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix}$ を $\begin{pmatrix} -18 \\ -3 \end{pmatrix}$ に, $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ を $\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \end{pmatrix}$ に移す時, $f$ の表現行列として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -4 & 3 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$
$f$ の表現行列を $A$ とすると
$A\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -18 \\ -3 \end{pmatrix}$
$A\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \end{pmatrix}$
であるから, これを $1$ つの式にまとめると
$A\begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -18 & 7 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$
が成り立つ。
$\begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix}$
であるから
$\begin{eqnarray*} A & = & \begin{pmatrix} -18 & 7 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}^{-1}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -18 & 7 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}\end{eqnarray*}$
よって $f$ の表現行列は $\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}$ である。