$f$ の表現行列を $A$ とすると

$A $$\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} -4 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $

$A $$\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} -4 \\ 8 \end{pmatrix}$$ $

であるから, これを $1$ つの式にまとめると

$A $$\begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} -4 & -4 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}$$ $

が成り立つ。

$ $$\begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$ ^{-1} = \dfrac{1}{2} $$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $

であるから

$ $$\begin{eqnarray*} A & = & \begin{pmatrix} -4 & -4 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}^{-1}\\[1em] & = & \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} -4 & -4 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}\end{eqnarray*}$$ $

よって $f$ の表現行列は $ $$\begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$$ $ である。