線形変換 $f$ が $\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \end{pmatrix}$ を $\begin{pmatrix} -4 \\ 0 \end{pmatrix}$ に, $\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}$ を $\begin{pmatrix} -4 \\ 8 \end{pmatrix}$ に移す時, $f$ の表現行列として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 4 & -4 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}$
$f$ の表現行列を $A$ とすると
$A\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \end{pmatrix}$
$A\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \end{pmatrix}$
であるから, これを $1$ つの式にまとめると
$A\begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & -4 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}$
が成り立つ。
$\begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}^{-1} = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
であるから
$\begin{eqnarray*} A & = & \begin{pmatrix} -4 & -4 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}^{-1}\\[1em] & = & \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} -4 & -4 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}\end{eqnarray*}$
よって $f$ の表現行列は $\begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$ である。