空間上の点 ${\rm P}(x,y,z)$ を, ${\rm P}$ と平面 $x + z = 0$ に関して対称な点 ${\rm P'}(x',y',z')$ に対応させる線形変換を表す行列として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
${\rm P}(x,y,z)$ と ${\rm P'}(x',y',z')$ の中点は平面 $x+z =0$ 上にあるので
$\dfrac{x + x'}{2} + \dfrac{z + z'}{2} = 0 ~~ \cdots ( {\rm i} )$
また, ベクトル $\overrightarrow{{\rm PP'}}$ は平面 $x + z = 0$ の法線ベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ に平行なので
$\begin{pmatrix} x' - x \\ y' - y \\ z' - z \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$
ここから
$x' - x = z' - z$ かつ $y' - y = 0 ~~ \cdots ( {\rm ii} )$
$({\rm i})$ と $({\rm ii})$ から
$\left\{ \begin{aligned} x' &= -z \\ y' &= y \\ z' &= -x \end{aligned} \right.$
であることがわかる。よって
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} -z \\ y \\ -x \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よってこの線形変換の表現行列は $\begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ である。