${\rm P}(x,y,z)$ と ${\rm P'}(x',y',z')$ の中点は平面 $x+z =0$ 上にあるので

$\dfrac{x + x'}{2} + \dfrac{z + z'}{2} = 0 ~~ \cdots ( {\rm i} )$

また, ベクトル $\overrightarrow{{\rm PP'}}$ は平面 $x + z = 0$ の法線ベクトル $ $$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$ $ に平行なので

$ $$\begin{pmatrix} x' - x \\ y' - y \\ z' - z \end{pmatrix}$$ = k $$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$ $

ここから

$x' - x = z' - z$ かつ $y' - y = 0 ~~ \cdots ( {\rm ii} )$

$({\rm i})$ と $({\rm ii})$ から

$\left\{ $$\begin{aligned} x' &= -z \\ y' &= y \\ z' &= -x \end{aligned}$$ \right.$

であることがわかる。よって

$ $$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} -z \\ y \\ -x \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

よってこの線形変換の表現行列は $ $$\begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ $ である。