点 ${\rm P}(x,y,z)$ と ${\rm P'}(x',y',z')$ は $y$ 軸に関して対称なので

$\left\{ $$\begin{aligned} x' &= -x \\ y' &= y \\ z' &= -z \end{aligned}$$ \right.$

が成り立つ。

$ $$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} -x \\  y \\ -z \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

よってこの線形変換を表す行列は $ $$\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$ $ である。