空間上の点 ${\rm P}(x,y,z)$ を, ${\rm P}$ と $x$ 軸に関して対称な点 ${\rm P'}(x',y',z')$ に対応させる線形変換を表す行列として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$
点 ${\rm P}(x,y,z)$ と ${\rm P'}(x',y',z')$ は $x$ 軸に関して対称なので
$\left\{ \begin{aligned} x' &= x \\ y' &= -y \\ z' &= -z \end{aligned} \right.$
が成り立つ。
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} x \\ -y \\ -z \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よってこの線形変換を表す行列は $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ である。