$4$ 点が同一平面上にある時, $3$ つのベクトル $\overrightarrow{{\rm DA}}$, $\overrightarrow{{\rm DB}}$, $\overrightarrow{{\rm DC}}$ は線形従属である。

$\overrightarrow{{\rm DA}} = (-4, a-3, 1)$

$\overrightarrow{{\rm DB}} = (-1, 0, 4)$

$\overrightarrow{{\rm DC}} = (-3, -1, 7)$

であるから

$ $$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -4 & -1 & -3 \\ a-3 & 0 & -1 \\ 1 & 4 & 7 \end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$$ $

であればよい。

$ $$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -4 & -1 & -3 \\ a-3 & 0 & -1 \\ 1 & 4 & 7 \end{vmatrix} & = & 0 + 1 - 12(a-3)  - 16 + 7(a-3) - 0 \\[1em] & = & -5(a-3) -15 \\[1em] & = & -5a  = 0 \end{eqnarray*}$$ $

よって $a= 0$ である。