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空間内の $4$ 点 ${\rm A}(1,a,-4)$, ${\rm B}(4,3,-1)$, ${\rm C}(2,2,2)$, ${\rm D}(5,3,-5)$ が同一平面上にある時, $a$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$0$
$-6$
$3$
$6$
$4$ 点が同一平面上にある時, $3$ つのベクトル $\overrightarrow{{\rm DA}}$, $\overrightarrow{{\rm DB}}$, $\overrightarrow{{\rm DC}}$ は線形従属である。
$\overrightarrow{{\rm DA}} = (-4, a-3, 1)$
$\overrightarrow{{\rm DB}} = (-1, 0, 4)$
$\overrightarrow{{\rm DC}} = (-3, -1, 7)$
であるから
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -4 & -1 & -3 \\ a-3 & 0 & -1 \\ 1 & 4 & 7 \end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$
であればよい。
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -4 & -1 & -3 \\ a-3 & 0 & -1 \\ 1 & 4 & 7 \end{vmatrix} & = & 0 + 1 - 12(a-3) - 16 + 7(a-3) - 0 \\[1em] & = & -5(a-3) -15 \\[1em] & = & -5a = 0 \end{eqnarray*}$
よって $a= 0$ である。