$4$ 点が同一平面上にある時, $3$ つのベクトル $\overrightarrow{{\rm AB}}$, $\overrightarrow{{\rm AC}}$, $\overrightarrow{{\rm AD}}$ は線形従属である。

$\overrightarrow{{\rm AB}} = (-5, b-9, -1)$

$\overrightarrow{{\rm AC}} = (8, 2, 5)$

$\overrightarrow{{\rm AD}} = (-3, -13, 13)$

であるから

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -5 & 8 & -3 \\ b-9 & 2 & -13 \\ -1 & 5 & 13 \end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

であればよい。

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -5 & 8 & -3 \\ b-9 & 2 & -13 \\ -1 & 5 & 13 \end{vmatrix} & = & -130 + 104 -15(b-9) - 325 - 104(b-9) - 6 \\[1em] & = & -119(b-9) - 357 \\[1em] & = & -119b + 714 = 0 \end{eqnarray*}$

よって $b= 6$ である。