$2$ つの平面ベクトル

$\overrightarrow{a} = (a_1,~a_2),~\overrightarrow{b} = (b_1,b_2)$

が作る平行四辺形の面積 $S$ は

$S = | \overrightarrow{a} || \overrightarrow{b} |  \sin \theta = \left| \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} \right|$

と表せる。

$\overrightarrow{{\rm AB}} = (3,1)$, $~\overrightarrow{{\rm AC}} = (7,-1)$

であるから, これらのベクトルが作る平行四辺形の面積 $S$ は

$S = \left| \begin{vmatrix} 3 & 7 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} \right| = \left| -3 - 7 \right|  = \left| - 10 \right| = 10$

である。