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連立一次方程式
$\left\{ \begin{aligned} -2x + 3y + 4z & =0 \\ -4x -4y -2z &= 0 \\ -4x + cy + 4z & = 0 \end{aligned} \right. $
が $(x,y,z) = (0,0,0)$ 以外の解を持つ時, $c$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$2$
$4$
$3$
$6$
$A = \begin{pmatrix} -2 & 3 & 4 \\ -4 & -4 & -2 \\ -4 & c & 4 \end{pmatrix}$
$\overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$
$\overrightarrow{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
とすると連立一次方程式は
$A\overrightarrow{x} = \overrightarrow{0}$
と表せる。この方程式が $\overrightarrow{x} = \overrightarrow{0}$ 以外の解を持つとき
$|A|=0$ となるので
$\begin{eqnarray*} |A| & = & \begin{vmatrix} -2 & 3 & 4 \\ -4 & -4 & -2 \\ -4 & c & 4 \end{vmatrix}\\[1em] & = & 32 + 24 - 16c - 4c + 48 - 64 \\[1em] & = & -20c + 40 =0 \end{eqnarray*}$
よって $c = 2$ である。