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連立一次方程式
$\left\{ \begin{aligned} -4x -4y + cz & =0 \\ -3x -4y -3z &= 0 \\ 2x + 3y + 4z & = 0 \end{aligned} \right. $
が $(x,y,z) = (0,0,0)$ 以外の解を持つ時, $c$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$4$
$-4$
$-2$
$2$
$A = \begin{pmatrix} -4 & -4 & c \\ -3 & -4 & -3 \\ 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$
$\overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$
$\overrightarrow{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
とすると連立一次方程式は
$A\overrightarrow{x} = \overrightarrow{0}$
と表せる。この方程式が $\overrightarrow{x} = \overrightarrow{0}$ 以外の解を持つとき
$|A|=0$ となるので
$\begin{eqnarray*} |A| & = & \begin{vmatrix} -4 & -4 & c \\ -3 & -4 & -3 \\ 2 & 3 & 4 \end{vmatrix}\\[1em] & = & 64 + 24 - 9c - 36 - 48 + 8c\\[1em] & = & - c + 4=0 \end{eqnarray*}$
よって $c = 4$ である。