行基本変形により

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 4 & -2 \\ 0 & 4 & a \\ -1 & -a & 3 \end{pmatrix} & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 4 & -2 \\ 0 & 4 & a \\ 0 & -a+4 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 4 & -2 \\ 0 & 1 & \dfrac{a}{4} \\ 0 & -a+4 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 4 & -2 \\ 0 & 1 & \dfrac{a}{4} \\ 0 & 0 & 1 + \dfrac{a(a-4)}{4} \end{pmatrix}\end{eqnarray*}$

$A$ の階数が $2$ である時

$\begin{eqnarray*} 1 + \dfrac{a(a-4)}{4} & = & \dfrac{1}{4}(4 + a(a-4))\\[1em] & = & \dfrac{1}{4}(a^2 - 4a +4)\\[1em] & = & \dfrac{1}{4}(a-2)^2 = 0 \end{eqnarray*}$

よって $a=2$ である。