行基本変形により

$ $$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -4 & 3 & a+2 \\ 2 & a & 2 \end{pmatrix} & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & a-2 \\ 0 & a +2 & 4 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & a-2 \\ 0 & 0 & 4 + (a-2)(a+2) \end{pmatrix}\end{eqnarray*}$$ $

$A$ の階数が $2$ の時

$ $$\begin{eqnarray*} 4 + (a-2)(a+2) & = & 4 + (a^2 - 4)\\[1em] & = & a^2 = 0 \end{eqnarray*}$$ $

よって $a=0$ である。