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対称行列 $A = (42−22105−258)$ を下三角行列 $L$ を用いて
$A = L~{}^t\! L$
と表したい。この時, $L$ の $(3,3)$ 成分として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
ただし, $L$ の対角成分は全て正であるとする。
$\sqrt{3}$
$\sqrt{2}$
$2$
$1$
$L$ は下三角行列なので
$L = (l1100l21l220l31l32l33)$
とすると
$L tL=(l1100l21l220l31l32l33)(l11l21l310l22l3200l33)=(l211l11l21l11l31l11l21l221+l222l21l31+l22l32l11l31l21l31+l22l32l231+l232+l233)$
$A = L~{}^t\! L$ であるから
$(42−22105−258) = (l211l11l21l11l31l11l21l221+l222l21l31+l22l32l11l31l21l31+l22l32l231+l232+l233)$
$1$ 行目もしくは $1$ 列目から
$l_{11} = 2$, $l_{21} = 1$, $l_{31} = -1$
代入し, $2$ 行目もしくは $2$ 列目から
$l_{22} =3$, $l_{32} = 2$
代入し, $(3,3)$ 成分を比べれば
$l_{33}^2 = 8 - 1 - 4 = 3$
よって $l_{33} = \sqrt{3}$ である。