$L$ は下三角行列なので

$L = $$\begin{pmatrix} l_{11} & 0 & 0 \\ l_{21} & l_{22} & 0 \\ l_{31} & l_{32} & l_{33} \end{pmatrix}$$ $

とすると

$ $$\begin{eqnarray*}L~{}^t\! L & = & \begin{pmatrix} l_{11} & 0 & 0 \\ l_{21} & l_{22} & 0 \\ l_{31} & l_{32} & l_{33} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} l_{11} & l_{21} & l_{31} \\ 0 & l_{22} & l_{32} \\ 0 & 0 & l_{33} \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} l_{11}^2 & l_{11}l_{21} & l_{11}l_{31} \\ l_{11}l_{21} & l_{21}^2 + l_{22}^2 & l_{21}l_{31} + l_{22}l_{32} \\ l_{11}l_{31} & l_{21}l_{31} + l_{22}l_{32} & l_{31}^2 + l_{32}^2 + l_{33}^2 \end{pmatrix}\end{eqnarray*}$$ $

$A = L~{}^t\! L$ であるから

$ $$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 3 & 25 & -1 \\ 1 & -1 & 4 \end{pmatrix}$$ =  $$\begin{pmatrix} l_{11}^2 & l_{11}l_{21} & l_{11}l_{31} \\ l_{11}l_{21} & l_{21}^2 + l_{22}^2 & l_{21}l_{31} + l_{22}l_{32} \\ l_{11}l_{31} & l_{21}l_{31} + l_{22}l_{32} & l_{31}^2 + l_{32}^2 + l_{33}^2 \end{pmatrix}$$ $

$1$ 行目もしくは $1$ 列目から

$l_{11} = 1$, $l_{21} = 3$, $l_{31} = 1$

代入し, $2$ 行目もしくは $2$ 列目から

$l_{22} =4$, $l_{32} = -1$

代入し, $(3,3)$ 成分を比べれば

$l_{33}^2 = 4 - 1 - 1 = 2$

よって $l_{33} = \sqrt{2}$ である。