対称行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 5 & -1 \\ -1 & -1 & 6 \end{pmatrix}$ を下三角行列 $L$ を用いて
$A = L~{}^t\! L$
と表したい。この時, $L$ の $(3,3)$ 成分として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
ただし, $L$ の対角成分は全て正であるとする。
$2$
$1$
$\sqrt{2}$
$\sqrt{3}$
$L$ は下三角行列なので
$L = \begin{pmatrix} l_{11} & 0 & 0 \\ l_{21} & l_{22} & 0 \\ l_{31} & l_{32} & l_{33} \end{pmatrix}$
とすると
$\begin{eqnarray*}L~{}^t\! L & = & \begin{pmatrix} l_{11} & 0 & 0 \\ l_{21} & l_{22} & 0 \\ l_{31} & l_{32} & l_{33} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} l_{11} & l_{21} & l_{31} \\ 0 & l_{22} & l_{32} \\ 0 & 0 & l_{33} \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} l_{11}^2 & l_{11}l_{21} & l_{11}l_{31} \\ l_{11}l_{21} & l_{21}^2 + l_{22}^2 & l_{21}l_{31} + l_{22}l_{32} \\ l_{11}l_{31} & l_{21}l_{31} + l_{22}l_{32} & l_{31}^2 + l_{32}^2 + l_{33}^2 \end{pmatrix}\end{eqnarray*}$
$A = L~{}^t\! L$ であるから
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 5 & -1 \\ -1 & -1 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} l_{11}^2 & l_{11}l_{21} & l_{11}l_{31} \\ l_{11}l_{21} & l_{21}^2 + l_{22}^2 & l_{21}l_{31} + l_{22}l_{32} \\ l_{11}l_{31} & l_{21}l_{31} + l_{22}l_{32} & l_{31}^2 + l_{32}^2 + l_{33}^2 \end{pmatrix}$
$1$ 行目もしくは $1$ 列目から
$l_{11} = 1$, $l_{21} = 2$, $l_{31} = -1$
代入し, $2$ 行目もしくは $2$ 列目から
$l_{22} =1$, $l_{32} = 1$
代入し, $(3,3)$ 成分を比べれば
$l_{33}^2 = 6 - 1 - 1 = 4$
よって $l_{33} = 2$ である。