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対称行列 $A = (121251116)$ を下三角行列 $L$ を用いて

$A = L~{}^t\! L$

と表したい。この時, $L$ の $(3,3)$ 成分として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。

ただし, $L$ の対角成分は全て正であるとする。

$2$

$1$

$\sqrt{2}$

$\sqrt{3}$

$L$ は下三角行列なので

$L = (l1100l21l220l31l32l33)$

とすると

$L tL=(l1100l21l220l31l32l33)(l11l21l310l22l3200l33)=(l211l11l21l11l31l11l21l221+l222l21l31+l22l32l11l31l21l31+l22l32l231+l232+l233)$

$A = L~{}^t\! L$ であるから

$(121251116)(l211l11l21l11l31l11l21l221+l222l21l31+l22l32l11l31l21l31+l22l32l231+l232+l233)$

$1$ 行目もしくは $1$ 列目から

$l_{11} = 1$, $l_{21} = 2$, $l_{31} = -1$

代入し, $2$ 行目もしくは $2$ 列目から

$l_{22} =1$, $l_{32} = 1$

代入し, $(3,3)$ 成分を比べれば

$l_{33}^2 = 6 - 1 - 1 = 4$

よって $l_{33} = 2$ である。