行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 5 & 4 & 3 \\ -4 & -2 & 0 \end{pmatrix}$ を
下三角行列 $L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ l_{21} & 1 & 0 \\ l_{31} & l_{32} & 1 \end{pmatrix}$ と上三角行列 $U = \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ 0 & u_{22} & u_{23} \\ 0 & 0 & u_{33} \end{pmatrix}$ を用いて
$A = LU$
と表したい。この時 $u_{33}$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$0$
$-2$
$2$
$4$
$A = LU$ であるから
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 5 & 4 & 3 \\ -4 & -2 & 0 \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ l_{21} & 1 & 0 \\ l_{31} & l_{32} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ 0 & u_{22} & u_{23} \\ 0 & 0 & u_{33} \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ l_{21}u_{11} & l_{21}u_{12} + u_{22} & l_{21}u_{13} + u_{23} \\ l_{31}u_{11} & l_{31}u_{12} + l_{32}u_{22} & l_{31}u_{13} + l_{32}u_{23} + u_{33} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$1$ 行目を比べれば
$u_{11} = 1,~~u_{12} = 1,~~u_{13} = 1$
であるので, 代入し $1$ 列目を比べれば
$l_{21} = 5,~~l_{31} = -4$
一度整理すると
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 5 & 4 & 3 \\ -4 & -2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 5 & 5 + u_{22} & 5 + u_{23} \\ -4 & -4 + l_{32}u_{22} & -4 + l_{32}u_{23} + u_{33} \end{pmatrix}$
次に $2$ 行目を比べると
$u_{22} = -1,~~u_{23} = -2$
$(3,2)$ 成分に代入すると
$-2 = -4 - l_{32}$
より $l_{32} = -2$ である。これらを $(3,3)$ 成分に代入すると
$0 = -4 + 4 + u_{33}$
よって $u_{33} = 0$ である。