$A = LU$ であるから

$ $$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ -3 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ l_{21} & 1 & 0 \\ l_{31} & l_{32} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ 0 & u_{22} & u_{23} \\ 0 & 0 & u_{33} \end{pmatrix}\\[1em] & = &  \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ l_{21}u_{11} & l_{21}u_{12} + u_{22} & l_{21}u_{13} + u_{23} \\ l_{31}u_{11} & l_{31}u_{12} + l_{32}u_{22} & l_{31}u_{13} + l_{32}u_{23} + u_{33} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

$1$ 行目を比べれば

$u_{11} = 1,~~u_{12} = -2,~~u_{13} = 2$

であるので, 代入し $1$ 列目を比べれば

$l_{21} = -3,~~l_{31} = 2$

一度整理すると

$ $$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ -3 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ =  $$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ -3 & 6 + u_{22} & -6 + u_{23} \\ 2 & -4 + l_{32}u_{22} & 4 + l_{32}u_{23} + u_{33} \end{pmatrix}$$ $

次に $2$ 行目を比べると

$u_{22} = -4,~~u_{23} = 4$

$(3,2)$ 成分に代入すると

$1 = -4 - 4l_{32}$

より $l_{32} = -\dfrac{5}{4}$ である。これらを $(3,3)$ 成分に代入すると

$1 = 4 - 5 + u_{33}$

よって $u_{33} = 2$ である。