$A = LU$ であるから

$ $$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 5 \\ 1 & -1 & -2 \\ -4 & 5 & -3 \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ l_{21} & 1 & 0 \\ l_{31} & l_{32} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ 0 & u_{22} & u_{23} \\ 0 & 0 & u_{33} \end{pmatrix}\\[1em] & = &  \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ l_{21}u_{11} & l_{21}u_{12} + u_{22} & l_{21}u_{13} + u_{23} \\ l_{31}u_{11} & l_{31}u_{12} + l_{32}u_{22} & l_{31}u_{13} + l_{32}u_{23} + u_{33} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

$1$ 行目を比べれば

$u_{11} = 1,~~u_{12} = -2,~~u_{13} = 5$

であるので, 代入し $1$ 列目を比べれば

$l_{21} = 1,~~l_{31} = -4$

一度整理すると

$ $$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 5 \\ 1 & -1 & -2 \\ -4 & 5 & -3 \end{pmatrix}$$ =  $$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 5 \\ 1 & -2 + u_{22} & 5 + u_{23} \\ -4 & 8 + l_{32}u_{22} & -20 + l_{32}u_{23} + u_{33} \end{pmatrix}$$ $

次に $2$ 行目を比べると

$u_{22} = 1,~~u_{23} = -7$

$(3,2)$ 成分に代入すると

$5 = 8 + l_{32}$

より $l_{32} = -3$ である。これらを $(3,3)$ 成分に代入すると

$-3 = -20 + 21 + u_{33}$

よって $u_{33} = -4$ である。