$\left\{ \begin{aligned} x - 4y - 4z &= 2 ~~\cdots ({\rm I}) \\ 2x - 6y - 6z &= 3 ~~\cdots ({\rm II}) \\ -2x + 2y + 2z &= -1 ~~\cdots ({\rm III}) \end{aligned} \right.$

とすると, 拡大係数行列は

$\begin{pmatrix} 1 & -4 & -4 & 2 \\ 2 & -6 & -6 & 3 \\ -2 & 2 & 2 & -1 \end{pmatrix}$

であり, 行基本変形を行うと

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -4 & -4 & 2 \\ 2 & -6 & -6 & 3 \\ -2 & 2 & 2 & -1 \end{pmatrix} & \xrightarrow{({\rm II}) - 2 \times ({\rm I}) } & \begin{pmatrix} 1 & -4 & -4 & 2 \\ 0 & 2 & 2 & -1 \\ -2 & 2 & 2 & -1 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{ ({\rm III}) + 2\times ({\rm I}) } &  \begin{pmatrix} 1 & -4 & -4 & 2 \\ 0 & 2 & 2 & -1 \\ 0 & -6 & -6 & 3 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{({\rm III}) + 3 \times ({\rm II})} & \begin{pmatrix} 1 & -4 & -4 & 2 \\ 0 & 2 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

となる。すなわち

$\left\{ \begin{aligned} x - 4y - 4z &= 2 \\ 2y + 2z &= -1 \end{aligned} \right.$

であり, $z= t$ として $2$ つ目の式に代入すると

$2y = -1 - 2t$

よって $y = -\dfrac{1}{2} - t$ であり, これらを $1$ つ目の式に代入すると

$x = 2 + 4\left( -\dfrac{1}{2} - t \right) + 4t = 0$

よって $x = 0$, $y = -\dfrac{1}{2} - t$, $z = t$ ($t$ は任意の数) である。