$\left\{ $$\begin{aligned} x - 4y + 2z &= 1 ~~\cdots ({\rm I}) \\ x - 3y - z &= 2 ~~\cdots ({\rm II}) \\ -x + 2y + 4z &= -3 ~~\cdots ({\rm III}) \end{aligned}$$ \right.$

とすると, 拡大係数行列は

$ $$\begin{pmatrix} 1 & -4 & 2 & 1 \\ 1 & -3 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 4 & -3 \end{pmatrix}$$ $

であり, 行基本変形を行うと

$ $$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -4 & 2 & 1 \\ 1 & -3 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 4 & -3 \end{pmatrix} & \xrightarrow{({\rm II}) - ({\rm I}) } & \begin{pmatrix} 1 & -4 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -3 & 1 \\ -1 & 2 & 4 & -3 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{ ({\rm III}) + ({\rm I}) } &  \begin{pmatrix} 1 & -4 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -3 & 1 \\ 0 & -2 & 6 & -2 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{({\rm III}) + 2\times ({\rm II})} & \begin{pmatrix} 1 & -4 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

となる。すなわち

$\left\{ $$\begin{aligned} x - 4y + 2z &= 1 \\ y - 3z &= 1 \end{aligned}$$ \right.$

であり, $z= t$ として $2$ つ目の式に代入すると

$y = 1 + 3t$

また, これらを $1$ つ目の式に代入すると

$x = 1 + 4(1+3t) -2t = 5 + 10t$

よって $x = 5 + 10t$, $y = 1 + 3t$, $z = t$ ($t$ は任意の数) である。