$\left\{ $$\begin{aligned} x - 3y - 3z &= 3 ~~\cdots ({\rm I}) \\ x - y - 2z &= -2 ~~\cdots ({\rm II}) \\ -2x + 2y - 3z &= -3 ~~\cdots ({\rm III}) \end{aligned}$$ \right.$

とすると, 拡大係数行列は

$ $$\begin{pmatrix} 1 & -3 & -3 & 3 \\ 1 & - 1 & -2 & -2 \\ -2 & 2 & -3 & -3 \end{pmatrix}$$ $

であり, 行基本変形を行うと

$ $$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -3 & -3 & 3 \\ 1 & - 1 & -2 & -2 \\ -2 & 2 & -3 & -3 \end{pmatrix} & \xrightarrow{({\rm II}) - ({\rm I}) } & \begin{pmatrix} 1 & -3 & -3 & 3 \\ 0 & 2 & 1 & -5 \\ -2 & 2 & -3 & -3 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{ ({\rm III}) + 2 \times ({\rm I}) } &  \begin{pmatrix} 1 & -3 & -3 & 3 \\ 0 & 2 & 1 & -5 \\ 0 & -4 & -9 & 3 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{({\rm III}) + 2 \times ({\rm II})} & \begin{pmatrix} 1 & -3 & -3 & 3 \\ 0 & 2 & 1 & -5 \\ 0 & 0 & -7 & -7 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{({\rm III}) ~\div ~(- 7)} & \begin{pmatrix} 1 & -3 & -3 & 3 \\ 0 & 2 & 1 & -5 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] \end{eqnarray*}$$ $

となる。すなわち

$\left\{ $$\begin{aligned} x - 3y -3z &= 3 \\ 2y + z &= -5 \\ z & = 1 \end{aligned}$$ \right.$

であり, $z= 1$ を $2$ つ目の式に代入すると

$2y = -5 - 1 = - 6$

よって $y = -3$ となるので, これらを $1$ つ目の式に代入すると

$x = 3 - 9 + 3 = -3$

よって $x = -3$, $y = -3$, $z = 1$ である。