$\left\{ \begin{aligned} x - 4y + 5z &= 21 ~~\cdots ({\rm I}) \\ -2x - y - 3z &= -8 ~~\cdots ({\rm II}) \\ 2x + y - 2z &= 3 ~~\cdots ({\rm III}) \end{aligned} \right.$

とすると, 拡大係数行列は

$\begin{pmatrix} 1 & -4 & 5 & 21 \\ -2 & -1 & -3 & -8 \\ 2 & 1 & -2 & 3 \end{pmatrix}$

であり, 行基本変形を行うと

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -4 & 5 & 21 \\ -2 & -1 & -3 & -8 \\ 2 & 1 & -2 & 3 \end{pmatrix} & \xrightarrow{({\rm II}) + 2 \times ({\rm I}) } & \begin{pmatrix} 1 & -4 & 5 & 21 \\ 0 & -9 & 7 & 34 \\ 2 & 1 & -2 & 3 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{ ({\rm III}) - 2 \times ({\rm I}) } &  \begin{pmatrix} 1 & -4 & 5 & 21 \\ 0 & -9 & 7 & 34 \\ 0 & 9 & -12 & -39 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{({\rm III}) + ({\rm II})} & \begin{pmatrix} 1 & -4 & 5 & 21 \\ 0 & -9 & 7 & 34 \\ 0 & 0 & -5 & -5 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{({\rm III}) ~\div ~(-5)} & \begin{pmatrix} 1 & -4 & 5 & 21 \\ 0 & -9 & 7 & 34 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] \end{eqnarray*}$

となる。すなわち

$\left\{ \begin{aligned} x - 4y + 5z &= 21 \\ -9y + 7z &= 34 \\ z & = 1 \end{aligned} \right.$

であり, $z=1$ を $2$ つ目の式に代入すると

$-9y = 34 - 7 = 27$

よって $y = -3$ となるので, これらを $1$ つ目の式に代入すると

$x = 21  - 12 - 5 = 4$

よって $x = 4$, $y = -3$, $z = 1$ である。