$\left\{ $$\begin{aligned} x - 3y - 3z &= 19 ~~\cdots ({\rm I}) \\ 5x - 2y - 2z &= 30 ~~\cdots ({\rm II}) \\ -2x + 3y -z &= -15 ~~\cdots ({\rm III}) \end{aligned}$$ \right.$

とすると, 拡大係数行列は

$ $$\begin{pmatrix} 1 & -3 & -3 & 19 \\ 5 & -2 & -2 & 30 \\ -2 & 3 & -1 & -15 \end{pmatrix}$$ $

であり, 行基本変形を行うと

$ $$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -3 & -3 & 19 \\ 5 & -2 & -2 & 30 \\ -2 & 3 & -1 & -15 \end{pmatrix} & \xrightarrow{({\rm II}) - 5 \times ({\rm I}) } & \begin{pmatrix} 1 & -3 & -3 & 19 \\ 0 & 13 & 13 & -65 \\ -2 & 3 & -1 & -15 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{({\rm II}) ~\div ~ 13} & \begin{pmatrix} 1 & -3 & -3 & 19 \\ 0 & 1 & 1 & -5 \\ -2 & 3 & -1 & -15 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{ ({\rm III}) + 2 \times ({\rm I}) } &  \begin{pmatrix} 1 & -3 & -3 & 19 \\ 0 & 1 & 1 & -5 \\ 0 & -3 & -7 & 23 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{({\rm III}) + 3 \times ({\rm II})} & \begin{pmatrix} 1 & -3 & -3 & 19 \\ 0 & 1 & 1 & -5 \\ 0 & 0 & -4 & 8 \end{pmatrix}\\[1em] & \xrightarrow{({\rm III}) ~\div ~(-4)} & \begin{pmatrix} 1 & -3 & -3 & 19 \\ 0 & 1 & 1 & -5 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}\\[1em] \end{eqnarray*}$$ $

となる。すなわち

$\left\{ $$\begin{aligned} x - 3y -3z &= 19 \\ y + z &= -5 \\ z & = -2 \end{aligned}$$ \right.$

であり, $z=-2$ を $2$ つ目の式に代入すると

$y = -5 + 2 = -3$

また, これらを $1$ つ目の式に代入すると

$x = 19  - 9 - 6 = 4$

よって $x = 4$, $y = -3$, $z = -2$ である。