$\left\{ \begin{aligned} x - 7y &= -18 ~~\cdots ({\rm I}) \\ 10x + 7y &= 51 ~~\cdots ({\rm II}) \end{aligned} \right.$

とすると, 拡大係数行列は

$\begin{pmatrix} 1 & -7 & -18 \\ 10 & 7 & 51 \end{pmatrix}$

であり, 行基本変形を行うと

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -7 & -18 \\ 10 & 7 & 51 \end{pmatrix}& \xrightarrow{({\rm II}) - 10 \times ({\rm I}) } & \begin{pmatrix} 1 & -7 & -18 \\ 0 & 77 & 231 \end{pmatrix} \\[1em] & \xrightarrow{({\rm II}) ~\div ~ 77} & \begin{pmatrix} 1 & -7 & -18 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

となる。すなわち

$\left\{ \begin{aligned} x - 7y &= -18 \\ y &= 3 \end{aligned} \right.$

であり, $y=3$ を $1$ つ目の式に代入すると

$x = -18 + 21 = 3$

よって $x = 3$, $y = 3$ である。