$\left\{ \begin{aligned} x &= -s + 3t \\ y &= s + 2t \end{aligned} \right.$
かつ
$\left\{ \begin{aligned} s &= 2u + v \\ t &= -2u + v \end{aligned} \right.$
である時, $x$, $y$ を $u$ と $v$ を用いて表したものとして正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\left\{ \begin{aligned} x &= -8u + 2v \\ y &= -2u + 3v \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} x &= -8u - 2v \\ y &= 2u + 3v \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} x &= -u + 8v \\ y &= 3u - 4v \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} x &= -u + 3v \\ y &= 8u - 4v \end{aligned} \right.$
行列を用いて表すと
$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix}$
また
$\begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}$
となる。よって
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -8 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -8u + 2v \\ -2u + 3v \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
以上より,
$\left\{ \begin{aligned} x &= -8u + 2v \\ y &= -2u + 3v \end{aligned} \right.$
である。