$\left\{ \begin{aligned} x &= -s - 3t \\ y &= s - 2t \end{aligned} \right.$
かつ
$\left\{ \begin{aligned} s &= 3u - v \\ t &= -5u + 2v \end{aligned} \right.$
である時, $x$, $y$ を $u$ と $v$ を用いて表したものとして正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\left\{ \begin{aligned} x &= 12u - 5v \\ y &= 13u - 5v \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} x &= -4u - 7v \\ y &= 7u + 11v \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} x &= 12u + 13v \\ y &= -5u - 5v \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} x &= -4u + 7v \\ y &= -7u + 11v \end{aligned} \right.$
行列を用いて表すと
$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -3 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix}$
また
$\begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}$
となる。よって
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} -1 & -3 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -1 & -3 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 12 & -5 \\ 13 & -5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 12u - 5v \\ 13u - 5v \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
以上より,
$\left\{ \begin{aligned} x &= 12u - 5v \\ y &= 13u - 5v \end{aligned} \right.$
である。