行列を用いて表すと

$ $$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$ =  $$\begin{pmatrix} -1 & -3  \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix}$$ $

また

$ $$\begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix}$$ =  $$\begin{pmatrix} 3 & -1  \\ -5 & 2 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}$$ $

となる。よって

$ $$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} -1 & -3  \\ 1 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -1 & -3  \\ 1 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & -1  \\ -5 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 12 & -5  \\ 13 & -5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}\\[1em] & = &  \begin{pmatrix} 12u - 5v  \\ 13u - 5v \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

以上より, 

$\left\{ $$\begin{aligned} x &= 12u - 5v \\ y &= 13u - 5v \end{aligned}$$ \right.$

である。