$\left\{ \begin{aligned} x &= -2s +3 t \\ y &= -s - 2t \end{aligned} \right.$
かつ
$\left\{ \begin{aligned} s &= -4u - 5v \\ t &= -3u - 3v \end{aligned} \right.$
である時, $x$, $y$ を $u$ と $v$ を用いて表したものとして正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\left\{ \begin{aligned} x &= -u + v \\ y &= 10u + 11v \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} x &= 13u - 2v \\ y &= 9u - 3v \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} x &= -u + 10v \\ y &= u + 11v \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} x &= 13u + 9v \\ y &= -2u - 3v \end{aligned} \right.$
行列を用いて表すと
$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix}$
また
$\begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & -5 \\ -3 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}$
となる。よって
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -4 & -5 \\ -3 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 10 & 11 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -u + v \\ 10u + 11v \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
以上より,
$\left\{ \begin{aligned} x &= -u + v \\ y &= 10u + 11v \end{aligned} \right.$
である。