$\left\{ \begin{aligned} x &= 3s + 4t \\ y &= -2s + t \end{aligned} \right.$
かつ
$\left\{ \begin{aligned} s &= -5u - 2v \\ t &= - u + 4v \end{aligned} \right.$
である時, $x$, $y$ を $u$ と $v$ を用いて表したものとして正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\left\{ \begin{aligned} x &= -19u + 10v \\ y &= 9u + 8v \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} x &= -11u - 22v \\ y &= -11u \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} x &= -18v \\ y &= -11u - 11v \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} x &= 8u + 10v \\ y &= 9u - 19v \end{aligned} \right.$
行列を用いて表すと
$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix}$
また
$\begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & -2 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}$
となる。よって
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -5 & -2 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -19 & 10 \\ 9 & 8 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -19u + 10v \\ 9u + 8v \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
以上より,
$\left\{ \begin{aligned} x &= -19u + 10v \\ y &= 9u + 8v \end{aligned} \right.$
である。