$2$ つの直線 $x + \sqrt{3}y + 2=0$, $x-\sqrt{3}y-3=0$ のなす角を $\theta~\left( 0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2} \right)$ とした時, $\cos \theta$ の値として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{1}{2}$
$-\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$2$ つの直線 $l_1$, $l_2$ の方向ベクトルをそれぞれ $\overrightarrow{v_1}$, $\overrightarrow{v_2}$ とした時, $\overrightarrow{v_1}$ と $\overrightarrow{v_2}$ のなす角 $\theta$ を, $2$ つの直線のなす角という。
ただし, ここで $0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ となるように $\overrightarrow{v_1}$,$\overrightarrow{v_2}$ を選ぶとする。
直線 $x + \sqrt{3}y + 2 = 0$ の方向ベクトルは $(\sqrt{3},-1)$
直線 $x - \sqrt{3}y - 3 = 0$ の方向ベクトルは $(\sqrt{3},1)$ であるから
$\cos \theta = \dfrac{ (\sqrt{3},-1)\cdot (\sqrt{3},1) }{|(\sqrt{3},-1)| |(\sqrt{3},1)| } = \dfrac{ 3-1 }{2 \cdot 2} = \dfrac{1}{2}$
である。
$\cos \theta = -\dfrac{1}{2}$ は $0\leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ の条件を満たさないので不適である。