$2$ つの直線 $3x + y - 3=0$, $3x - 4y + 1=0$ のなす角を $\theta~\left( 0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2} \right)$ とした時, $\cos \theta$ の値として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{\sqrt{10}}{10}$
$-\dfrac{\sqrt{10}}{10}$
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$2$ つの直線 $l_1$, $l_2$ の方向ベクトルをそれぞれ $\overrightarrow{v_1}$, $\overrightarrow{v_2}$ とした時, $\overrightarrow{v_1}$ と $\overrightarrow{v_2}$ のなす角 $\theta$ を, $2$ つの直線のなす角という。
ただし, ここで $0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ となるように $\overrightarrow{v_1}$,$\overrightarrow{v_2}$ を選ぶとする。
直線 $3x + y - 3 = 0$ の方向ベクトルは $(-1,3)$
直線 $3x - 4y + 1 = 0$ の方向ベクトルは $(4,3)$ であるから
$\cos \theta = \dfrac{ (-1,3)\cdot (4,3) }{|(1,-3)| |(4,3)| } = \dfrac{ -4 + 9}{5\sqrt{10} } = \dfrac{1}{\sqrt{10}} = \dfrac{\sqrt{10}}{10}$
である。
$\cos \theta = -\dfrac{\sqrt{10}}{10}$ は $0\leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ の条件を満たさないので不適である。