平面上の異なる $2$ 点 ${\rm A}$, ${\rm B}$ に対し, 線分 ${\rm AB}$ を $5:3$ に外分する点を ${\rm P}$ とする。
この時 $\overrightarrow{{\rm OP}}$ を $\overrightarrow{{\rm OA}}$ と $\overrightarrow{{\rm OB}}$ を用いて表したものとして正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$ -\dfrac{3}{2}\overrightarrow{{\rm OA}} + \dfrac{5}{2}\overrightarrow{{\rm OB}}$
$ \dfrac{5}{2}\overrightarrow{{\rm OA}} - \dfrac{3}{2}\overrightarrow{{\rm OB}}$
$ -\dfrac{5}{2}\overrightarrow{{\rm OA}} + \dfrac{3}{2}\overrightarrow{{\rm OB}}$
$\dfrac{3}{2}\overrightarrow{{\rm OA}} - \dfrac{5}{2}\overrightarrow{{\rm OB}}$
線分 ${\rm AB}$ を $m:n$ に外分する点を ${\rm P}$ とすると, 点 ${\rm P}$ の位置ベクトル $\overrightarrow{{\rm OP}}$ は
$\overrightarrow{{\rm OP}} = \dfrac{ -n\overrightarrow{{\rm OA}} + m\overrightarrow{{\rm OB}} }{m - n}$
と表せる。${\rm P}$ は ${\rm AB}$ を $5:3$ に外分するので
$\overrightarrow{{\rm OP}} = \dfrac{ -3\overrightarrow{{\rm OA}} + 5\overrightarrow{{\rm OB}} }{5-3} = -\dfrac{3}{2}\overrightarrow{{\rm OA}} + \dfrac{5}{2}\overrightarrow{{\rm OB}}$
である。