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次の $2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ が平行となるような $t$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\overrightarrow{a} = \left(2,4 \right),~\overrightarrow{b} = \left( 3t+4,-7t-5 \right)$
$-1$
$1$
$3$
$-3$
$\overrightarrow{0}$ でない $2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ が平行であるための必要十分条件は
$\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{b}$
となる実数 $k$ が存在することである。$\overrightarrow{b} = k\overrightarrow{a}$ とすると
$\left( 3t+4,-7t-5 \right) = k(2,4) = (2k,4k)$
各成分を比べると
$\left\{ \begin{aligned} 3t+4 &= 2k \\ -7t - 5 &= 4k \end{aligned} \right.$
$1$ 番目の式を $2$ 倍したものから $2$ 番目の式を引くと
$13t +13=0$
よって $t = -1$ である。