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次の $2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ が平行となるような $t$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\overrightarrow{a} = \left(6,-6 \right),~\overrightarrow{b} = \left( -7t+2,4t+7 \right)$
$3$
$-3$
$\dfrac{5}{11}$
$-\dfrac{5}{11}$
$\overrightarrow{0}$ でない $2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ が平行であるための必要十分条件は
$\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{b}$
となる実数 $k$ が存在することである。$\overrightarrow{b} = k\overrightarrow{a}$ とすると
$\left( -7t+2,4t+7 \right) = k(6,-6) = (6k,-6k)$
各成分を比べると
$\left\{ \begin{aligned} -7t+2 &= 6k \\ 4t + 7 &= -6k \end{aligned} \right.$
$1$ 番目の式に $2$ 番目の式を加えると
$-3t + 9=0$
よって $t = 3$ である。