整数の割り算と同じ要領で計算を行いましょう。

(1)

(2)

$x$ にそれぞれ値を代入して計算します。

(1)

$ $$\begin{eqnarray*} P(0) & = & 12 \times 0^3 -4\times 0^2 +5\times 0 -7\\[0.5em] & = & -7 \end{eqnarray*}$$ $

(2)

$ $$\begin{eqnarray*} P(2) & = & 12 \times 2^3 -4\times 2^2 +5\times 2 -7\\[0.5em] & = & 96 - 16 +10 -7 = 83 \end{eqnarray*}$$ $

(3)

$ $$\begin{eqnarray*} P(-3) & = & 12 \times (-3)^3 -4\times (-3)^2 +5\times (-3) -7\\[0.5em] & = & -324 - 36 - 15 -7 = -382 \end{eqnarray*}$$ $

剰余の定理を利用しましょう。

(1)
剰余の定理より $A(x)$ を $x-3$ で割った余りは $A(3)$ となります。よって

$ $$\begin{eqnarray*} A(3) & = & 3^3 -5\times 3^2 +11\times 3 -4\\[0.5em] & = & 27 -45 +33 -4 = 11 \end{eqnarray*}$$ $

(2)
剰余の定理より $A(x)$ を $x+2$ で割った余りは $A(-2)$ となります。よって

$ $$\begin{eqnarray*} A(-2) & = & (-2)^4 + 5\times (-2)^3 - 8\times (-2)^2 +1 \\[0.5em] & = & 16 - 40 - 32 + 1 = -55 \end{eqnarray*}$$ $

$P(x) = 4x^3 +3x^2 +5x+k$

とすると, 因数定理より $P(1) = 0$ となるように $k$ の値を定めればよいことになります。

$P(1) = 4+3+5+k =0$

となるので, $k$ について整理すると $k=-12$ となります。

$P(x)$ を $2$ 次式 $x^2+6x+8$ で割った時の商を $Q(x)$, 余りを $R(x)$ とすると, $R(x)$ は高々 $1$ 次式になります。よって

$P(x) = Q(x)(x^2+6x+8) +ax+b$

と表せることがわかります。剰余の定理より

$P(-2) = 6,~~ P(-4) =10$

となるので, $x^2+6x+8 = (x+2)(x+4)$ に注意すると

$ $$\begin{cases}-2a+b = 6\\ -4a+b = 10\end{cases}$$ $

これを解くと $a = -2,~b=2$ であることがわかります。