これは同じものを含む順列になります。

$9$ つの文字のうち, ${\rm A}$ が $3$ つ, ${\rm B}$ が $2$ つ, ${\rm C}$ が $4$ つあるので

$\dfrac{9!}{3!2!4!} = 1260$

よってそのような並べ方は $1260$ 通りあります。

(1)
$6$ 人の円順列なので, そのような並び方は

$(6-1)! = 5! = 120$

より $120$ 通りになります。

(2)
最初に大人 $3$ 人を円形に並べ, その後大人の間 $3$ か所に子供を並べます。

大人 $3$ 人の円順列は

$(3-1)!=2$

より $2$ 通りであり, その各々の並び方に対して子供の並び方は

$3! = 6$

より $6$ 通りあるので積の法則から

$2\cdot 6 = 12$

よってそのような並び方は $12$ 通りになります。

【別解】:

大人 $1$ 人を固定して考えます。

固定した大人の右隣は子供が並ぶので, その子供の選び方は $3$ 通りになります。

その子供の右隣は残りの大人 $2$ 人のうち $1$ 人が並ぶので, その大人の選び方は $2$ 通りになります。

さらにその大人の右隣には残りの子供 $2$ 人のうち $1$ 人が並ぶので, その選び方は $2$ 通りになります。

残った大人と子供の並び方は $1$ 通りなので, 積の法則から

$3\cdot 2\cdot 2 =12$

より $12$ 通りになります。

$4$ 種類のものから $5$ 個を選ぶ重複組合せなので, そのような選び方は

${}_{5+4-1}{\rm C}_5 ~ {}_8{\rm C}_5 = {}_8{\rm C}_3 = \dfrac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2\cdot 1} = 56$

より $56$ 通りになります。

「$3$ 人の中から ($100$ 円玉を $1$ 枚渡す) $1$ 人を重複を許して $10$ 回選ぶ」

と考えればこれは重複組合せなので

${}_{10+3-1}{\rm C}_{10} = {}_{12}{\rm C}_{10} = {}_{12}{\rm C}_2 = \dfrac{12\cdot 11}{2\cdot 1} = 66$

よって $66$ 通りの配り方があります。