$Q1$.
次の関数の極値を求めなさい。
$Q2$.
次の関数の極値を求めなさい。
(1)
$f(x) = \dfrac{(x^2+1)-2}{x^2 +1} = 1- \dfrac{2}{x^2+1}$
であるから
$f'(x) = \dfrac{4x}{(x^2+1)^2}$
よって $f'(x)=0$ の時, $x=0$ であり, 増減表は下のようになります。
$ x ⋯ 0 ⋯ f′(x)−0+f(x)↘−1↗ $
増減表から関数 $f(x)$ は
$x=0$ で極小値 $f(0)=-1$
を取ることがわかります。
(2)
$f(x)$ を微分すると
$f'(x) = 1 + \dfrac{9}{(x-1)^2} = \dfrac{(x-1)^2 - 9}{(x-1)^2} = \dfrac{(x+2)(x-4)}{(x-1)^2}$
よって $f'(x)=0$ の時 $x=-2,~4$ であり, 増減表は下のようになります。
$x=1$ は定義域に含まれていないことに注意しましょう。
$ x ⋯ −2 ⋯ 1 ⋯ 4 ⋯f′(x)+0−╱−0+f(x)↗−5↘╱↘7↗ $
増減表から関数 $f(x)$ は
$x=-2$ で極大値 $f(-2)=-5$
を取り, また
$x=4$ で極小値 $f(4) = 7$
を取ることがわかります。
$Q3$.
次の関数の極値を求めなさい。
$f(x)$ を微分すると
$f'(x) = \dfrac{2x-2}{2\sqrt{x^2-2x+5}}=\dfrac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+5}}$
よって $f'(x)=0$ の時, $x=1$ であり, 増減表は下のようになります。
$ x ⋯ 1 ⋯ f′(x)−0+f(x)↘2↗ $
増減表から関数 $f(x)$ は
$x=1$ で極小値 $f(1)=2$
を取ることがわかります。
$Q4$.
次の関数の極値を求めなさい。
(1)
$f'(x) = 1 +2\cos x$
であるから $f'(x)=0$ とすると
$\cos x= -\dfrac{1}{2}$
$0 \lt x \lt 2\pi$ であるから $f'(x)=0$ の時, $x = \dfrac{2}{3}\pi,~\dfrac{4}{3}\pi$ となります。
よって増減表は下のようになります。
$ x0 ⋯ 23π ⋯ 43π ⋯ 2πf′(x)+0−0+f(x)╱↗23π+√3↘43π−√3↗╱$
増減表から関数 $f(x)$ は
$x=\dfrac{2}{3}\pi$ で極大値 $f\left(\dfrac{2}{3}\pi\right)=\dfrac{2}{3}\pi + \sqrt{3}$
を取り, また
$x=\dfrac{4}{3}\pi$ で極小値 $f\left(\dfrac{4}{3}\pi\right)=\dfrac{4}{3}\pi - \sqrt{3}$
を取ることがわかります。
(2)
$f'(x) = -e^{-x}\sin x + e^{-x}\cos x = e^{-x}( \cos x - \sin x)$
であるから, $f'(x)=0$ とすると $e^{-x}\not=0$ より
$\cos x - \sin x =0$
三角関数の合成を用いると
$\cos x - \sin x = \sqrt{2} \sin\left( x- \dfrac{\pi}{4} \right)=0$
$0 \lt x \lt 2\pi$ より
$x- \dfrac{\pi}{4} = 0,~\pi$
よって $f'(x)=0$ の時 $x=\dfrac{\pi}{4},~\dfrac{5}{4}\pi$ であり, 増減表は下のようになります。
$ x0 ⋯ π4 ⋯ 54π ⋯ 2πf′(x)+0−0+f(x)╱↗e−π4√2↘−e−54π√2↗╱$
増減表から関数 $f(x)$ は
$x=\dfrac{\pi}{4}$ で極大値 $f\left(\dfrac{\pi}{4} \right)=\dfrac{e^{-\frac{\pi}{4}}}{\sqrt{2}}$
を取り, また
$x=\dfrac{5}{4}\pi$ で極小値 $f\left(\dfrac{5}{4}\pi \right) = - \dfrac{e^{-\frac{5}{4}\pi}}{\sqrt{2}}$
を取ることがわかります。
(1)
$f(x)$ を微分すると
$f'(x) = 2x-2$
よって $f'(x)=0$ の時, $x=1$ であり, 増減表は下のようになります。
$ x ⋯ 1 ⋯ f′(x)−0+f(x)↘3↗$
増減表から, 関数 $f(x)$ は
$x=1$ で極小値 $f(1)=3$
を取ることがわかります。
(2)
$f(x)$ を微分すると
$f'(x) = 3x^2 + 12x -15 = 3(x+5)(x-1)$
よって $f'(x)=0$ の時, $x=-5,~1$ となり, 増減表は下のようになります。
$ x ⋯ −5 ⋯ 1 ⋯ f′(x)+0−0+f(x)↗111↘3↗$
増減表から, 関数 $f(x)$ は
$x=-5$ で極大値 $f(-5)=111$
を取り, また
$x=1$ で極小値 $f(1)=3$
を取ることがわかります。