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$2$ 次形式 $2x^2 - 4y^2 + 4z^2 + 2xy - 4yz + 4zx$ を対称行列 $A$ を用いて

$\begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix} A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$

と表した時, $A$ として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。

$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 1 & -4 & -2 \\ 2 & -2 & 4 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & -2 \\ 2 & -2 & 2 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 2 & 2 & 4 \\ 2 & -4 & -4 \\ 4 & -4 & 4 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & -4 \\ 4 & -4 & 2 \end{pmatrix}$

$2$ 次形式 $ax^2 + by^2 + cz^2 + dxy + eyz + fzx$ は対称行列を用いて

$\begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & \dfrac{d}{2} & \dfrac{f}{2} \\ \dfrac{d}{2} & b & \dfrac{e}{2} \\ \dfrac{f}{2} & \dfrac{e}{2} & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$

と表せる。よって

$2x^2 - 4y^2 + 4z^2 + 2xy - 4yz + 4zx = \begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 1 & -4 & -2 \\ 2 & -2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$

が成り立つ。