$2$ 次形式 $x^2 + 2y^2 -z^2 + 2xy + 4yz - 2zx$ を対称行列 $A$ を用いて
$\begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix} A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$
と表した時, $A$ として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 2 \\ -1 & 2 & -1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 2 & 2 \\ -2 & 2 & -1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & 2 & -2 \\ 4 & -2 & -1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix}$
$2$ 次形式 $ax^2 + by^2 + cz^2 + dxy + eyz + fzx$ は対称行列を用いて
$\begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & \dfrac{d}{2} & \dfrac{f}{2} \\ \dfrac{d}{2} & b & \dfrac{e}{2} \\ \dfrac{f}{2} & \dfrac{e}{2} & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$
と表せる。よって
$x^2 + 2y^2 -z^2 + 2xy + 4yz - 2zx = \begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 2 \\ -1 & 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$
が成り立つ。