$xyz$ 空間内の曲面 $z = f(x,y)$ の, $xy$ 平面内の領域 $D$ に対応する部分の面積 $S$ は

$S = \displaystyle \iint_D \sqrt{f_x^2 + f_y^2 + 1}~dxdy = \iint_D \sqrt{\left( \dfrac{\partial f}{\partial x}\right)^2+ \left( \dfrac{\partial f}{\partial y}\right)^2 + 1}~dxdy$

で計算することができます。

$z = x^{\frac{3}{2}}$ であるから

$\dfrac{\partial z}{\partial x} = \dfrac{3}{2}x^{\frac{1}{2}},~~\dfrac{\partial z}{\partial y} = 0$

よって求める面積 $S$ は

$\begin{eqnarray*}S & = & \int_0^1\int_0^5 \sqrt{ \left(\dfrac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}\right)^2 + 0^2 + 1}~dxdy\\[1em] & = & \int_0^1\int_0^5 \sqrt{ \dfrac{9x+4}{4}}~dxdy\\[1em] & = & \dfrac{1}{2}\int_0^5 \left\{ \int_0^1 \sqrt{9x+4}~dy \right\}~dx\\[1em] & = & \dfrac{1}{2}\int_0^5 \sqrt{9x+4}~dx \end{eqnarray*}$

$9x+4 = t$ と置くと, $dx = \dfrac{1}{9}~dt$ より

$\displaystyle \int_0^5 \sqrt{9x+4}~dx = \int_4^{49} \dfrac{\sqrt{t}}{9}~dt = \dfrac{1}{9}\left[ \dfrac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}\right]_4^{49} = \dfrac{670}{27}$

よって

$\displaystyle S = \dfrac{1}{2}\int_0^5 \sqrt{9x+4}~dx = \dfrac{335}{27}$

$\dfrac{\partial z}{\partial x} = -2x,~~\dfrac{\partial z}{\partial y} = -2y$

であるから, 面積 $S$ は

$\displaystyle S = \iint_D \sqrt{(-2x)^2+ (-2y)^2+1}~xdy = \iint_D\sqrt{4(x^2+y^2)+1}~dxdy$

$x = r\cos \theta,~~y=r\sin \theta$ と置くと

$\begin{eqnarray*} S & = & \iint_D\sqrt{4(x^2+y^2)+1}~dxdy\\[1em] & = & \int_0^{2\pi} \int_0^1 r \sqrt{4r^2+1}~dr d\theta \\[1em] & = & \int_0^{2\pi} \left[ \dfrac{1}{12}(4r^2+1)^{\frac{3}{2}}\right]_0^1~d\theta = \dfrac{2\pi (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{12} = \dfrac{(5\sqrt{5}-1)\pi}{6} \end{eqnarray*}$

$xy$ 平面内の図形 $D$ に対し

$\displaystyle (\bar{x},\bar{y}) = \left( \dfrac{\displaystyle \iint_D x~dxdy}{\displaystyle \iint_D ~dxdy}, \dfrac{\displaystyle \iint_D y~dxdy}{\displaystyle \iint_D ~dxdy} \right)$

を $D$ の重心といいます。

与えられた図形を $D$ とすると

$D:0 \leqq x \leqq 1,~0 \leqq y \leqq \sqrt{x}$

と表すことができます。すると

$\displaystyle{\iint_D \ dxdy=\int_{0}^{1} \left\{\int_{0}^{\sqrt{x}} \ dy\right\}\ dx=\int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} dx=\left[\cfrac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}\right]_0^1=\cfrac{2}{3}}$

であり, また

$\displaystyle{\iint_D x\ dxdy=\int_{0}^{1} \left\{\int_{0}^{\sqrt{x}} x\ dy\right\}\ dx=\int_{0}^{1} x^{\frac{3}{2}} dx= \left[\cfrac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} \right]_0^1=\cfrac{2}{5}}$

$\displaystyle{\iint_D y\ dxdy=\int_{0}^{1} \left\{\int_{0}^{\sqrt{x}} y\ dy\right\}\ dx=\int_{0}^{1} \cfrac{1}{2} x\ dx=\left[\cfrac{1}{4}\,x^2\right]_0^1=\cfrac{1}{4}}$

となるので各座標は

$\displaystyle \bar{x} =\cfrac{\displaystyle{\iint_D x\ dx dy}}{\displaystyle{\iint_D \ dx dy}} = \dfrac{3}{5}$

$\displaystyle \bar{y} =\cfrac{\displaystyle{\iint_D y\ dx dy}}{\displaystyle{\iint_D \ dx dy}} = \dfrac{3}{8}$

よって重心の座標は $\left( \dfrac{3}{5},~\dfrac{3}{8}\right)$ となります。