媒介変数 $t$ を用いて $xy$ 平面上の曲線群が

$f(x,y,t) = 0$

で与えられている時, この曲線群の包絡線の方程式は $2$ つの方程式

$f(x,y,t)=0$

$f_t(x,y,t)=0$

から $t$ を消去することで得られます。

$f(x,y,t) = t^2x^2 + t -y$ とすると

$f_t(x,y,t) = 2tx^2 + 1$

より $f_t(x,y,t)=0$ とすると

$t = -\dfrac{1}{2x^2}$

元の曲線群の方程式に代入すると

$\left( -\dfrac{1}{2x^2}\right)^2x^2 - \dfrac{1}{2x^2} -y =0$

整理すると包絡線の方程式は

$y = -\dfrac{1}{4x^2}$

となります。

$f(x,y,t) = (x-t)^2 + 4t -y$ とすると

$f_t(x,y,t) = -2(x-t) + 4 $

より $f_t(x,y,t)=0$ とすると

$t = x-2$

$f(x,y,t)=0$ に代入すると

$4 + 4(x-2) -y =0$

よって包絡線の方程式は

$y = 4x - 4$

となります。

$f(x,y,t) = (x-t)^2 + (y-t)^2 -2$ とすると

$f_t(x,y,t) = -2(x-t) - 2(y-2)$

より $f_t(x,y,t)=0$ とすると

$t = \dfrac{x+y}{2}$

$f(x,y,t)=0$ に代入すると

$\left( \dfrac{x-y}{2}\right)^2 + \left( \dfrac{-x+y}{2}\right)^2 - 2 =0$

整理すると $(y-x)^2 = 4$ となるので, 包絡線の方程式は

$y = x \pm 2$

となります。