13. 角度の計算例題集

$Q1$.
次の角度を弧度法で表しなさい。

(1) $15^\circ$

(2) $-75^\circ$

(3) $-310^\circ$

(4) $90^\circ$

(5) $180^\circ$

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(1) $\dfrac{\pi}{12}$

(2) $-\dfrac{5}{12}\pi$

(3) $-\dfrac{31}{18}\pi$

(4) $\dfrac{\pi}{2}$

(5) $\pi$

$1^\circ = \dfrac{\pi}{180}$ (ラジアン) が成り立ちます。

(1)

$15^\circ = \dfrac{15}{180}\pi = \dfrac{\pi}{12}$

(2)

$-75^\circ = -\dfrac{75}{180}\pi = -\dfrac{5}{12}\pi$

(3)

$-310^\circ = -\dfrac{310}{180}\pi = -\dfrac{31}{18}\pi$

(4)

$90^\circ = \dfrac{90}{180}\pi = \dfrac{\pi}{2}$

(5)

$180^\circ = \dfrac{180}{180}\pi = \pi$

$Q2$.
次の角度を度数法で表しなさい。

(1) $\dfrac{11}{18}\pi$

(2) $- \dfrac{25}{36}\pi$

(3) $\dfrac{65}{12}\pi$

(4) $\dfrac{\pi}{4}$

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(1) $110^\circ$

(2) $-125^\circ$

(3) $975^\circ$

(4) $45^\circ$

$1$ (ラジアン) $= \dfrac{180^\circ}{\pi}$ が成り立ちます。

(1)

$\dfrac{11}{18}\pi = \dfrac{11\pi}{18}\cdot \dfrac{180^\circ}{\pi} = 110^\circ$

(2)

$-\dfrac{25}{36}\pi = -\dfrac{25\pi}{36}\cdot \dfrac{180^\circ}{\pi} = -125^\circ$

(3)

$\dfrac{65}{12}\pi = \dfrac{65\pi}{12}\cdot \dfrac{180^\circ}{\pi} = 975^\circ$

(4)

$\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4}\cdot \dfrac{180^\circ}{\pi} = 45^\circ$

$Q3$.
半径 $8~{\rm cm}$, 中心角 $\dfrac{\pi}{8}$ の扇形の弧の長さと面積を求めなさい。

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弧の長さ $\pi~{\rm cm}$

面積 $4\pi~{\rm cm}^2$

扇形の半径を $r$, 中心角を $\theta$, 弧の長さを $l$, 面積を $S$ とすると

$l = r\theta$

$S = \dfrac{1}{2}r^2\theta$

が成り立ちます。よって

$l = 8\cdot \dfrac{\pi}{8}=\pi$

$S = \dfrac{1}{2} \cdot 8^2 \cdot \dfrac{\pi}{8} = 4\pi$

$Q4$.
半径 $14~{\rm cm}$, 弧の長さが $2\pi ~{\rm cm}$ の扇形の中心角の大きさを求めなさい。

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$\dfrac{\pi}{7}$

扇形の半径を $r$, 中心角を $\theta$, 弧の長さを $l$ とすると

$l = r\theta$

が成り立つので

$\theta = \dfrac{l}{r} = \dfrac{2\pi}{14} = \dfrac{\pi}{7}$

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