固有値を $\lambda$, 固有ベクトルを $\overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ とすると $| \lambda E - A| =0$ であるから

$\begin{eqnarray*}| \lambda E - A| & = & \begin{vmatrix} \lambda - 7 & 2 \\ 8 & \lambda - 7 \end{vmatrix}\\[1em] & = & (\lambda - 7)^2 - 16\\[0.5em] & = & \lambda^2 - 14\lambda + 33\\[0.5em] & = & (\lambda - 3)(\lambda - 11) =0 \end{eqnarray*}$

よって $\lambda = 3,11$ となります。

$\lambda=3$ の時, $(3E -A)\overrightarrow{x} = \overrightarrow{0}$ とすると

$\begin{eqnarray*} (3E -A)\overrightarrow{x} & = & \begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 8 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -4x+2y \\ 8x-4y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

より $y = 2x$ となるので, 固有ベクトルは

$\overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} x \\ 2x \end{pmatrix} = x\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}~~$ (ただし $x\not=0$)

となります。

同様に $\lambda=11$ の時

$\begin{eqnarray*} (11E -A)\overrightarrow{x} & = & \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 8 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 4x+2y \\ 8x+4y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

より $y = -2x$ となるので, 固有ベクトルは

$\overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} x \\ -2x \end{pmatrix} = x\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}~~$ (ただし $x\not=0$)

となります。

※注意

一般に固有ベクトルは任意定数 $c$ を用いて表されるので, その表し方は $1$ 通りではありません。

例えば, この問題では固有値 $\lambda=11$ に対する固有ベクトルとして

$\overrightarrow{x_2} = c_2 \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}~~(c_2\not=0)$

としても正しい答えになります。

固有値を $\lambda$, 固有ベクトルを $\overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ とすると $| \lambda E - A| =0$ であるから

$\begin{eqnarray*}| \lambda E - A| & = & \begin{vmatrix} \lambda - 1 & 2 & -2 \\ 2 & \lambda + 2 & 1 \\ -1 & 1 & \lambda \end{vmatrix}\\[1em] & = & (\lambda - 1)(\lambda+2)\lambda -2 -4 - (\lambda-1) - 4\lambda -2(\lambda +2)\\[0.5em] & = & \lambda^3 + \lambda^2-9\lambda -9\\[0.5em] & = & (\lambda + 1)(\lambda^2 - 9)\\[0.5em] & = & (\lambda + 1)(\lambda + 3)(\lambda - 3)=0 \end{eqnarray*}$

よって $\lambda = -3, -1, 3$ となります。

$\lambda=-3$ の時, $(-3E -A)\overrightarrow{x} = \overrightarrow{0}$ とすると

$\begin{eqnarray*} (-3E -A)\overrightarrow{x} & = & \begin{pmatrix} -4 & 2 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -4x+2y-2z \\ 2x-y+z \\ -x+y -3z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

より

$\left\{ \begin{aligned} -4x+2y-2z&=0\\ 2x-y+z&=0 \\ -x+y-3z&=0 \end{aligned}\right.$

第 $2$ 式 $+$ 第 $3$ 式より $x = 2z$ であり, これを第 $2$ 式に代入すれば $y = 5z$ であることがわかります。よって

$\overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 2z \\ 5z \\ z \end{pmatrix} = z\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}~~$ (ただし $z\not=0$)

となります。

同様に $\lambda=-1$ の時, $(-E -A)\overrightarrow{x} = \overrightarrow{0}$ とすると

$\begin{eqnarray*} (-E -A)\overrightarrow{x} & = & \begin{pmatrix} -2 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -2x+2y-2z \\ 2x+y+z \\ -x+y-z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

より

$\left\{ \begin{aligned} -2x+2y-2z&=0\\ 2x+y+z&=0 \\ -x+y-z&=0 \end{aligned}\right.$

第 $2$ 式 $+$ 第 $3$ 式より $x = -2y$ であり, 第 $1$ 式 $+$ 第 $2$ 式より $z = 3y$ であることがわかります。よって

$\overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} -2y \\ y \\ 3y \end{pmatrix} = y\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}~~$ (ただし $y\not=0$)

となります。

最後に $\lambda=3$ の時, $(3E -A)\overrightarrow{x} = \overrightarrow{0}$ とすると

$\begin{eqnarray*} (-3E -A)\overrightarrow{x} & = & \begin{pmatrix} 2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & 1 \\ -1 & 1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 2x+2y-2z \\ 2x+5y+z \\ -x+y+3z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

より

$\left\{ \begin{aligned} 2x+2y-2z&=0\\ 2x+5y+z&=0 \\ -x+y+3z&=0 \end{aligned}\right.$

第 $2$ 式 $-$ 第 $3$ 式より $y = -z$ であり, 第 $1$ 式 $- 2~\times $ 第 $3$ 式より $x = 2z$ であることがわかります。よって

$\overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 2z \\ -z \\ z \end{pmatrix} = z\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}~~$ (ただし $z\not=0$)

となります。

固有値を $\lambda$, 固有ベクトルを $\overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ とすると $| \lambda E - A| =0$ であるから

$\begin{eqnarray*}| \lambda E - A| & = & \begin{vmatrix} \lambda - 1 & 2 & 2 \\ 0 & \lambda + 1 & 0 \\ 2 & 0 & \lambda -1 \end{vmatrix}\\[1em] & = & (\lambda - 1)^2(\lambda+1) - 4(\lambda +1)\\[0.5em] & = & (\lambda + 1)(\lambda^2 - 2\lambda -3)\\[0.5em] & = & (\lambda + 1)^2(\lambda - 3)=0 \end{eqnarray*}$

よって $\lambda = -1, 3$ となります。

$\lambda=-1$ の時, $(-E -A)\overrightarrow{x} = \overrightarrow{0}$ とすると

$\begin{eqnarray*} (-E -A)\overrightarrow{x} & = & \begin{pmatrix} -2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -2x+2y+2z \\ 0 \\ 2x-2z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

より $x=z$, $y=0$ となります。よって

$\overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} z \\ 0 \\ z \end{pmatrix} = z\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}~~$ (ただし $z\not=0$)

となります。

また $\lambda=3$ の時, $(3E -A)\overrightarrow{x} = \overrightarrow{0}$ とすると

$\begin{eqnarray*} (3E -A)\overrightarrow{x} & = & \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 0 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 2x+2y+2z \\ 4y \\ 2x + 2z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

より $x = -z$, $y=0$ となります。よって

$\overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} -z \\ 0 \\ z \end{pmatrix} = z\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}~~$ (ただし $z\not=0$)

となります。

固有値を $\lambda$, 固有ベクトルを $\overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ とすると $| \lambda E - A| =0$ であるから

$\begin{eqnarray*}| \lambda E - A| & = & \begin{vmatrix} \lambda - 1 & -1 & -1 \\ -2 & \lambda & -1 \\ -2 & -1 & \lambda \end{vmatrix}\\[1em] & = & \lambda^2(\lambda - 1) -2 -2 - (\lambda-1) - 2\lambda -2\lambda \\[0.5em] & = & \lambda^3 - \lambda^2 -5\lambda -3\\[0.5em] & = & (\lambda + 1)(\lambda^2 - 2\lambda -3)\\[0.5em] & = & (\lambda + 1)^2(\lambda - 3)=0 \end{eqnarray*}$

よって $\lambda = -1, 3$ となります。

$\lambda=-1$ の時, $(-E -A)\overrightarrow{x} = \overrightarrow{0}$ とすると

$\begin{eqnarray*} (-E -A)\overrightarrow{x} & = & \begin{pmatrix} -2 & -1 & -1 \\ -2 & -1 & -1 \\ -2 & -1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -2x-y-z \\ -2x-y-z \\ -2x-y-z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

より $2x + y+z =0$ となります。$z=-2x-y$ を代入すると

$\begin{eqnarray*}\overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ -2x-y \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} x \\ 0 \\ -2x \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ y \\ -y \end{pmatrix}\\[1em] & = & x\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}+ y\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\end{eqnarray*}$

となります。(ただし $x\not=0$ または $y\not=0$)

また $\lambda=3$ の時, $(3E -A)\overrightarrow{x} = \overrightarrow{0}$ とすると

$\begin{eqnarray*} (3E -A)\overrightarrow{x} & = & \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -2 & 3 & -1 \\ -2 & -1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 2x-y-z \\ -2x+3y-z \\ -2x-y+3z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

より

$\left\{ \begin{aligned} 2x-y-z&=0\\ -2x+3y-z&=0 \\ -2x-y+3z&=0 \end{aligned}\right.$

第 $2$ 式 $-$ 第 $3$ 式より $y = z$ であり, これを 第 $1$ 式 に代入すると $x = z$ であることがわかります。よって

$\overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} z \\ z \\ z \end{pmatrix} = z\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}~~$ (ただし $z\not=0$)

となります。